线性和一阶的齐次微分方程。 解决方案的例子

我认为我们应该与光荣的数学工具，微分方程的历史说起。 像所有的微积分，这些公式是由牛顿在17世纪晚期发明的。 他认为这是他的发现很重要，即使是加密的消息，今天可以翻译为：“用微分方程描述大自然的一切法律。” 这似乎有点夸张，但它是真实的。 物理，化学，生物的任何法律，可以通过这些方程来描述。

以微分方程理论的发展和创造了巨大的贡献有欧拉和拉格朗日的数学。 早在18世纪，他们发现并开发了现在是在高级的大学课程学习。

在微分方程研究中的一个新的里程碑开始感谢杏里Puankare。 他创造了一个，其中，与复变函数论结合显著贡献的拓扑结构的基础，“微分方程定性理论” - 的空间及其性质的科学。

什么是微分方程？

许多人担心这句话的 “微分方程”。 然而，在这篇文章中，我们将详细列明这个非常有用的数学工具，它实际上不是，因为它从标题似乎复杂的本质。 为了开始谈论一阶微分方程，您必须首先结识了，这本身就与此定义相关的基本概念。 我们将与差速器开始。

差动

很多人都知道从高中这个词。 然而，仍然纠缠于它的细节。 想象一下，该函数的曲线图。 我们可以把它增加至其任何段变成直线的程度。 这需要两个点是无限接近对方。 其坐标（x或y）之间的差是极小的。 它被称为差动和字符表示DY（Y的差分）和DX（x的差分）。 要明白，差别并不是最终的价值是很重要的，这就是意义和主要功能。

现在你必须考虑以下因素，我们将需要解释微分方程的概念。 它 - 衍生物。

衍生

我们大家都必须在学校这一观点已经听到。 他们说，导数 - 是增长或功能降低的速度。 然而，这个定义变得更加扑朔迷离。 让我们试着解释差异的导数项。 让我们回到微小区间函数有两个点，分别位于在彼此的最小距离。 但是，即使超出此距离函数是时候改变一些价值。 并描述的变化和拿出，否则将被写为微分的比的导数：F（X）“= DF / DX。

现在有必要考虑衍生品的基本属性。 只有三个：

1. 衍生物和或差可以表示为导数的和或差：（A + B） '= A' + B '和（AB）'= A'-B”。
2. 第二属性与乘法连接。 衍生作品 - 是一个功能的作品派生的其他的总和：（A * B） '= A' * B + A * B”。
3. 的差的导数可以被写为如下等式：（A / B） '= （A' * BA * B“）/ B ^2。

所有这些功能就派上用场了寻找解决差一阶的方程。

另外，还有一些偏导数。 假设我们有Z，它取决于变量x和y的函数。 为了计算该函数的偏导数，例如，在X中，我们需要采取变量y为常数且容易地进行区分。

积分

另一个重要的概念 - 积分。 事实上，它是衍生物的相反。 积分几种类型，但微分方程的最简单的解决方案，我们需要最琐碎的 不定积分。

那么， 什么是积分？ 比方说，我们有一定的关系˚Fx的。 我们从它的积分并获得函数F（x）（其通常被称为原语），这是原始函数的导数。 因此F（X）“= F（X）。 这也意味着该衍生物的积分等于原有的功能。

在求解微分方程是非常重要的是了解整体的意义和作用，因为很多时候不得不带他们找到解决办法。

该公式依赖于它们的性质是不同的。 在下一节我们将看看类型的一阶微分方程，然后学习如何解决这些问题。

微分方程课

“Diffury”由参与它们的衍生物的顺序划分。 因此，存在第一，第二，第三或更多的顺序。 它们也可以分为几类：普通和部分。

在这篇文章中，我们将考虑一阶微分方程。 实例和解决方案，我们在下面的章节讨论。 我们只考虑TAC，因为它是最常见的类型方程。 普通分为亚种：具有可分离变量，均相和非均相。 接下来，您将了解他们从彼此的区别，并学习如何解决这些问题。

此外，这些方程可以合并，这样以后我们得到的一阶微分方程的系统。 这样的系统，我们也来看看，并了解如何解决。

为什么我们只考虑一阶？ 因为有必要从一个简单的和描述所有与微分方程相关联，在一个单一的文章是不可能的。

具有可分离变量方程

这也许是最简单的一阶微分方程。 这些是可以被写为实施例为：y“= F（X）* F（Y）。 为了解决这个方程，我们需要的衍生物的表示式为微分的比率为：y“= DY / DX。 有了它，我们得到以下方程：DY / DX = F（X）* F（Y）。 现在，我们可以把解决标准实例的方法：分离变量部分，即快进所有的变量y在有DY的部分，也使变量x ... 我们得到以下形式的公式：DY / F（Y）= F（X）DX，这是通过取两个部分的积分实现。 不要忘了不断要整合后放。

任何“diffura”的溶液 - 是由y一个x的函数（在我们的情况下），或者如果有一个数值条件，答案是一个数字。 让我们看看一个具体的例子决定的整个过程：

Y“= 2Y *的sin（x）

迁移影响的变量在不同的方向：

DY / Y = 2 *的sin（x）DX

现在采取的积分。 所有这些都可以在积分的特殊表中找到。 而我们得到：

LN（Y）= -2 * COS（X）+ C

如果需要，我们可以表示“Y”为“X”的功能。 现在我们可以说，我们的微分方程求解，除非指定的条件。 可以指定的条件，例如，Y（N / 2）= E。 然后，我们将简单地替换在决定这些变量的值，并找到常量的值。 在我们的例子中，它是1。

均匀一阶微分方程

现在到更复杂的部件。 均匀一阶微分方程，可以以通用的方式为：y“= Z（X，Y）。 应当指出的是，两个变量的右功能是一致的，它可以不依赖于可分为两种：Z X和Y的ž。 检查是否方程式均匀与否，是很简单的：我们是替换X = K * x和y = K * Y。 现在，我们削减所有的k。 如果这些信件被删除，则方程均匀，可以放心地继续它的解决方案。 展望未来，我们说：这些例子的解决方案的原理也很简单。

我们需要替代：Y = T（X）* X，其中T - 当然这也取决于X的功能。 然后，我们可以表达衍生物：Y '= T'（x）的* X +吨。 代到所有这些我们原来的公式和简化它，我们有变量t时的分离为x的例子。 解决它，并获得T（X）的依赖性。 当我们得到了它，可以替换我们之前的替代Y = T（X）* X。 然后我们得到Y对X的依赖。

为了更清楚，我们应该明白一个例子：X * Y“= YX * E Y / X。

当检查更换所有下降的。 因此，公式确实是均匀的。 现在再拍替代，我们谈到：Y = T（X）* X和Y '= T'（X）* X + T（X）。 简化后的下式表示：T“（x）的* X = -e吨。 我们决定要带独立变量的样本，我们^{得到：电子-t = LN（C *} X）。 我们只需要通过向t替换为Y / X（因为如果y = T * x，那么T = Y / X），我们得到了^{答案：电子-y / X = LN（} X * C）。

一阶的线性微分方程

现在是时候需要考虑的另一个广泛的话题。 我们将着眼异质一阶微分方程。 他们如何与前两次有什么不同？ 让我们面对它。 在方程的一般形式的线性一阶微分方程因此可写为：y“+ G（X）* Y = Z（x）的。 应当澄清，Z（x）和g（x）可以是恒定的值。

下面是一个例子：Y“ - Y * X = X ^2。

有两种方法来解决，而我们为了让我们来看看他们两个。 第一 - 任意常数的变化的方法。

为了解决这种方法的方程，有必要向第一右侧等同于零，并解决了所得方程，转印部件后变为：

Y“= Y * X;

DY / DX = Y * X;

DY / Y = XDX;

LN | Y | = X ^2/2 + C;

Y = ^{X2ë/ 2} * ^C Y = C ₁ * E ^{X2 / 2。}

现在是需要更换常数C ₁的函数V（X），我们将发现。

Y = V ^{*ëX2 / 2。}

绘制的替代衍生物：

^{Y '= V' * E X2} / ² -x * V * E ^{X2 / 2。}

而以这些表述成原来的公式：

V“* E ^{X2 / 2} - X * V * E ^{X2 / 2} + X * V * E ^{X2 / 2} = X ^2。

你可以看到，在这两个术语的左侧减少。 如果一些例子并没有发生，那么你做错了事。 我们继续：

V“* E ^{X2 / 2} = X ^2。

现在，我们解决您想要的变量分离通常公式：

的dv / DX = X ^{2 / E×2/2;}

的dv = X ² * E ^{- X2 / 2} DX。

要删除的积分，我们必须通过零件这里应用的集成。 然而，这不是本文的主题。 如果你有兴趣，你可以学到对自己进行这样的操作。 这并不难，并且有足够的技术和谨慎不费时。

参照第二方法不均匀方程的解：伯努利方法。 哪种方法更容易和更快 - 给你。

因此，解决这种方法时，我们需要替换：Y = K * N。 在这里，k和n - 根据X的一些功能。 然后该衍生物将看起来像：Y '= K' * N + K * N”。 替补两次换人公式中：

K '* N + K * N ' + X * K * N = X ^2。

组了起来：

K '* N + K *（ N' +为x * n）= X ^2。

现在有必要等同于零，也就是在括号中。 现在，如果将二者结合起来产生的方程式，我们得到一阶微分方程的系统来解决：

N“+为x * n = 0;

K“* N = X ^2。

第一个等式决定如何常用公式。 要做到这一点，你需要将这些变量分配：

的dn / DX = X * V;

的dn / N = XDX。

我们采取的积分和我们得到：LN（N）= X ^2/2。 然后，如果我们表达N：

N ^{=ëX2 / 2。}

现在取代结果的方程式进入第二个方程：

K“* E ^{X2 / 2} = X ^2。

和转化，我们所得到的公式作为第一种方法：

DK = X ^{2 / E×2/2。}

我们也不会讨论进一步行动。 据说，在第一一阶微分方程溶液引起相当大的困难。 然而，主题更深的沉浸开始变得越来越好。

哪里微分方程？

在物理学中使用了非常积极的微分方程，因为几乎所有的基本规律都写在微分形式，并且这些公式，我们看到 - 解决这些方程。 在化学中，它们被用于同样的原因：基本规律都通过他们来的。 在生物学中，该微分方程被用于的系统，如捕食的行为进行建模 - 猎物。 它们可以被用来创造再现模式，例如，微生物菌落。

作为微分方程在生活中帮助？

在这个问题的答案很简单：没有。 如果你不是一个科学家或工程师，这是不可能的，他们将是有益的。 然而，不伤害知道微分方程，它是解决了整体发展。 然后一个儿子或女儿的问题：“什么是微分方程？” 不要把你在一个死胡同。 好吧，如果你是一个科学家或工程师，那么你就知道这个话题的任何科学的重要性。 但最重要的，现在的问题是“如何解决一阶微分方程？” 你随时都可以给一个答案。 同意，这总是好的当你意识到什么人都甚至不敢找出来。

该研究的主要问题

在这个主题的理解主要问题是整合和分化功能的坏习惯。 如果你感到不舒服承担导数和积分，这可能是值得多学习，要学会整合和分化的不同的方法，然后才着手已经在文章中描述了该材料的研究。

有些人惊讶地得知，DX可以转移，如以前（在学校）认为，分数DY / DX是不可分割的。 然后，你需要阅读衍生的文学和理解，它是无限量小，可以在解方程被操纵的态度。

许多人没有马上意识到，一阶微分方程的解 - 这往往是一个函数或neberuschiysya积分，而这个妄想给他们带来了很大的麻烦。

还有什么可以进行研究，以更好地理解？

这是最好的开始进一步浸入专门的教科书微积分的世界，例如，在非数学专业学生数学分析。 然后，您可以移动到更专业的文献。

据说，除了差，还有积分方程，所以你将永远有东西去争取，什么学习。

结论

我们希望看完这篇文章后您将有什么样的微分方程，以及如何正确地解决他们的想法。

在任何情况下，以任何方式在生活中对我们有用的数学。 它的发展逻辑和重视，如果没有这些每一个男人，因为没有双手。