线性代数方程的系统。 线性代数方程的均相体系

在学校里，我们每个人学习的方程和，当然，方程组。 但没有多少人知道，有几种方法来解决这些问题。 今天，我们将看到求解线性代数方程组，这是由两个以上的方程组的系统正是所有方法。

故事

现在我们知道，求解方程及其系统的艺术起源于古巴比伦和埃及。 然而，在他们熟悉的形式平等向我们显现等号“=”，这是于1556年由英国数学家纪录推出后发生。 顺便提一下，被选择的一个原因这个符号：它意味着两个平行的相等的段。 事实上，平等的最好的例子不上来。

现代刻字的创始人和未知程度的象征，法国数学家 Fransua越南。 然而，它的名称是从今天显著不同。 例如，一个未知数量的平方通过他字母Q（LAT“quadratus”），这个立方体指定 - （LAT“CUBUS”）字母C。 这些符号现在似乎不舒服，但随后是写线性代数方程组的系统中最直观的方式。

然而，在解决现行方法的缺点是，数学家们只考虑了积极的根源。 也许这是因为事实负值没有任何实际应用。 这种或那种方式，但首先要考虑的负面根意大利数学尼科克洛·塔尔塔吉利亚，杰罗拉莫卡尔达诺和拉斐尔·博贝利在16世纪后开始。 一个现代化的外观，解决的主要方法二次方程 （通过判别）通过笛卡尔和牛顿的作品只成立于17世纪。

在18世纪瑞士数学家的中间加布里埃尔·克拉默找到了新的方法，使线性方程组更容易的系统解决方案。 此方法后，他被后来命名，并以这一天，我们使用它。 但在Kramer的谈话稍晚的方法，但现在我们会从系统中分别讨论线性方程组和他们的解决方案。

线性方程组

线性方程组 - 用变量（多个）的最简单的方程。 他们属于代数。 线性方程 写成的一般形式如下：a ₁ * X ₁ + A _{2 *} X ₂ + ...和_{n *×n个} = B。 这种形式提交，我们将需要的系统准备和矩阵上。

线性代数方程的系统

这个词的定义是：一组具有共同的未知和一般解方程。 通常情况下，在学校里解决了一个系统，两个甚至三个方程。 但也有四个或更多的组件系统。 让我们来看看第一个是如何把它们写下来，这样以后这是方便解决。 首先，线性代数方程组的系统会更好看，如果所有的变量都写为x与相应指数：1,2,3等。 其次，应该导致所有方程到规范形式_：1 * X ₁ + A _{2 *} X ₂ + ...和_{n *×n个} = B。

毕竟这些步骤，我们就可以开始告诉你如何找到线性方程组的解。 很为能派上用场的矩阵。

矩阵

矩阵 - 即由行和列的表，而它的元素在它们的交叉点。 这可以是一个特定的值或变量。 在大多数情况下，以指定被布置下标（例如_，11或₂₃孔）下方的元件。 第一索引指示的行号，和所述第二 - 列。 上述矩阵如上和任何其它数学元件可以执行各种操作。 因此，您可以：

1）中减去，并添加表中的相同的尺寸。

2）乘以矩阵到任何数量或载体。

3）转置：在列变换矩阵线和列 - 在线路。

4）乘以矩阵，如果行数是等于其中之一不同的列数。

为了详细讨论所有这些技术，因为它们在未来对我们有用。 加法和减法矩阵是非常简单的。 由于我们采取同样的尺寸矩阵，一个表中的每个元素是关系到所有其他元素。 因此，我们加（减）两大这些元素的（重要的是，他们在自己的矩阵站在同一接地）。 当由矩阵或向量的数目乘以你只是乘以矩阵的每个元素由该号码（或向量）。 换位 - 一个非常有趣的过程。 非常有趣的，有时看到他在现实生活中，例如，改变平板电脑或手机的方向时。 桌面上的图标是一个矩阵，并用的位置变化，它被转置和变宽，但在高度上减小。

让我们来看看更多的过程，如 矩阵乘法。 虽然他告诉我们，是没有用的，但要注意它仍然是有用的。 乘法两个矩阵只能的条件下，在一个表中的列的数量等于其他的行数。 下面以一个矩阵线元件和相应的列的其它元件。 他们乘到对方，然后总和（即，例如，元件₁₁和₁₂以及在₁₂和_22b的产物将等于：A * B _{11 12} + ₁₂ * B和_22）。 因此，一个单一的表项，并类似于它的方法进一步填充。

现在我们可以开始考虑如何解决线性方程组。

高斯

这个主题开始发生在学校。 我们非常清楚地知道“两次线性方程组”的概念，并知道如何解决这些问题。 但是，如果方程的数字是多少大于二？ 这将帮助我们 高斯方法。

当然，这种方法很方便使用，如果你做了系统的矩阵。 但是你不能将它和决定自己。

那么，如何通过线性方程高斯的系统解决呢？ 顺便说一句，尽管这种方法和他的名字命名，但在古时候发现了它。 高斯具有与方程进行的操作，以最终导致整体以阶梯形式。 也就是说，你需要自上而下（如果正确的地方）从第一个到最后一个方程减退一个未知数。 换句话说，我们需要确保我们已经得到了，说，三个方程：第一 - 三个未知数，在第二 - 两人在第三 - 一个。 然后，从最后一个方程，我们发现第一个未知的，在第二或第一方程式代替它的价值，并进一步发现剩余的两个变量。

克莱姆法则

对于这种技术的发展是至关重要的掌握另外的技能，矩阵的减法，以及需要能够找到的决定因素。 因此，如果你感到不舒服的这一切还是不知道怎么回事，就需要学习和培训。

什么是这种方法的精髓，以及如何做到这一点，才能得到线性方程组克拉默的系统？ 这是非常简单的。 我们需要建立数字矩阵（几乎总是）线性代数方程组的系统的系数。 要做到这一点，简单地采取未知的数量，我们在它们被记录在系统中的顺序安排表。 如果说之前的数字是一个标志“ - ”，那么我们写负系数。 所以，我们做了未知数的系数的第一矩阵，不包括等号后的数字（当然，这个方程降低到规范形式权当是只是一个数字，左 - 所有系数未知）。 然后，你需要做一些矩阵 - 每个变量。 为了这个目的，在第一矩阵是通过一列与所述系数的每一列号码等号后更换。 因此，我们得到了几个矩阵，然后找到自己的决定。

后，我们发现在预选赛中，它的小。 我们有一个初始矩阵，和有几个来源的矩阵，其对应于不同的变量。 为了得到一个系统解决方案，我们把结果表的决定因素在桌子上的主要决定因素。 将得到的数量是一个可变的值。 同样，我们发现所有的未知数。

其他方法

有在为了获得线性方程组的解的几种方法。 例如，一个所谓的高斯 - 约旦方法，它是用于发现二次方程的系统的解决方案，以及还涉及使用矩阵。 还存在用于求解线性代数方程的系统的雅可比方法。 他很容易适应所有计算机和计算中使用。

复杂的情况下，

复杂性通常会发生，如果方程的数量小于变量的数量。 然后，我们可以肯定地说是，或者系统是不一致的（即，无根），或它的决定数量趋于无穷大。 如果我们有第二种情况 - 这是必要写线性方程组的系统的总体方案。 这将包括至少一个变量。

结论

下面我们就来结束。 总结：我们要了解什么样的系统矩阵，学会找到线性方程组的系统的总体方案。 此外，我们还考虑其他的选择。 我们想出了如何解决线性方程组：高斯消元法和 克莱姆法则。 我们谈到了困难的情况下，寻找解决方案的其他方式。

事实上，这个问题就广泛得多，如果你想更好地了解它，我们建议您阅读专业文献的。