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差速器 - 这是什么？ 如何找到函数的微分？
随着衍生品 它们的功能 差异 - 它 一些基本概念的微分，的主要部分 的数学分析。 作为有着千丝万缕的联系，他们两人几个世纪广泛用于解决在科学和技术活动过程中出现的几乎所有的问题。
微分的概念的出现
这是第一次明确提出，这样的差别，创始人之一（与Isaakom Nyutonom沿）微分著名的德国数学家戈弗里德Vilgelm Leybnits。 在此之前，数学家17世纪。 使用任何已知的功能的一些微小“未分割”的非常不清楚和模糊的概念，代表一个非常小的恒定值，但不等于零，低于该值的功能不能简单。 因此，它只有一个步骤引入的函数参数和其各自的可在后者的衍生物来表示的功能的增量无穷小增量的观念。 而采取这一步骤是几乎同时在上述两个伟大的科学家。
根据需要，以解决所面临的科学紧迫的现实力学问题发展迅速的产业和技术，牛顿和莱布尼茨创造发现的功能变化率（特别是相对于已知轨道体的机械速度），而导致引进这些概念的常用方法，作为衍生物功能和差分，并且还发现该算法逆问题的解决方案如本身已知的（可变）速度遍历以找到导致了积分的概念的路径 阿拉。
在莱布尼茨和牛顿的想法的作品首次就出现了差异 - 是成正比的基本观点，增量Δh的增加，可以成功地应用于计算后的数值量Δu功能。 换言之，他们已经发现，一个增量函数可以是在任何点（定义其领域内）通过其衍生物既量Δu= Y“（x）的量Δh+αΔh其中α的Δh表示 - 余数，趋向于零为Δh的→ 0，比实际的Δh快得多。
根据数学分析的创始人，差速器 - 这正是在任何功能的增量中的第一项。 即使不具有明确定义的限制概念序列直观地理解的是，衍生物的差动值趋向于功能时的Δh→0 - 量Δu/Δh的→Y“（x）的。
不像牛顿，谁是主要的物理学家，并认为是物理问题研究中的一个辅助工具数学工具，莱布尼茨更注重这个工具包，其中包括视觉和理解数学符号的价值体系。 这是他谁提出微分函数DY的标准符号= Y“（x）的DX，DX，并且该参数的功能及其关系y的衍生物”（X）= DY / DX。
现代定义
什么是现代数学方面的差别？ 这是密切相关的变量增量的概念。 如果变量y取Y Y = 1的第一值，则Y = y 2，将差Y 2─Y 1被称为增量值y。
如果该值量Δu任意函数y = f（x）可以被表示为量Δu= A的Δh+α，其中A是上Δh的无依赖性，T。E. A =常数为给定的x，并且术语α时的Δh→0趋于它是速度甚至比实际的Δh，则第一（“主”）的项正比Δh的，并且是对于y = F（X）的差分，表示为 Dy或DF（X）（读 “Y日”， “德从X EFF”）。 因此差速器 - 一个“主”直线相对于增量Δh的功能的组件。
力学的解释
令s = F（T） -在一条直线上移动的距离 物质点 （ -行程时间t）从初始位置。 增量Δs的 - 是一个时间间隔Δt期间，点方式，差动DS = F“（t）的Δt的 - 这条路径，这点会被保持相同的时间Δt，如果保留了速度F”（t）的，在时间t达到。 当一个无穷小Δt的DS假想路径不同于实际Δs的无穷具有相对于Δt的更高阶。 如果在时刻t的速度不等于零，则近似值DS给出小的偏置点。
几何解释
让线L为y = F（X）的曲线图。 然后ΔX = MQ，量Δu= QM“（参见图下文）。 切线MN打破量Δu切成两个部分，QN和NM”。 第一和ΔH为比例QN = MQ∙TG（角QMN）=Δh的F“（X）中，t的E QN是DY差。
差量ΔuNM'daet─DY，当Δh的→0 NM长度“的速度甚至超过自变量的增加而减小，所述的第二部分，即它具有渺小比Δh的更高的顺序。 在这种情况下，如果f“（X）≠0（非平行切线OX）段QM'i QN当量; 换句话说NM“急剧下降（其更高的渺小顺序）比总增量量Δu= QM”。 这是图（接近段M'k中号NM'sostavlyaet所有较小百分比QM“段）明显的。
因此，图形化差分任意函数等于切线的纵坐标的增量。
导数与微分
在表达增量函数的第一项的一个因素是等于其导函数f“（X）的值。 因此，下面的关系 - DY = F '（x）的量Δh或DF（X）= F'（x）的量Δh。
已知的是，独立的自变量的增量等于其差ΔH= DX。 因此，我们可以写出：F“（x）的DX = DY。
发现（有时说是“决定”）差是由相同的规则的衍生物进行的。 它们的列表如下。
更重要的是普遍的：在参数或其差的增量
这里有必要作出一些澄清。 表示值F“考虑x作为自变量时（x）的差分的Δh可能的。 但功能可以是一个复杂的，其中x可以是自变量t的函数。 则f“（x）的量Δh的差异表达的表示，作为一项规则，这是不可能的; 除了在+ B线性关系X =的情况下。
至于公式f“（x）的DX = DY，则在独立的自变量x的在参数的X吨依赖性的情况下的情况下（然后DX =ΔH），它是差分的。
例如，表达2×ΔH为对于y = X 2时，x是一个参数其差分。 我们现在X = T 2，承担牛逼的说法。 然后Y = X 2 = T 4。
这之后是（T +ΔT）2 = T 2 +2tΔt+ΔT2。 因此ΔH=2tΔt+ΔT2。 因此：2xΔh=2吨2（2tΔt+△2）。
该表达式是不成正比Δt的，并且因此是现在2xΔh没有差速器。 它可以从方程Y = X 2 = T 4中找到。 它等于DY =4吨3Δt的。
如果我们把表达2xdx，它是任何参数吨差动Y = X 2。 事实上，当x = 2吨获得DX =2tΔt。
所以2xdx =2吨22tΔt=4吨3 .DELTA.t，吨。E.由两个不同的变量所记录的表达差异一致。
更换增量差异
若f“（x）的≠0，则δu和dy当量（当Δh的→0）; 如果f“（X）= 0（含义和dy = 0），它们是不等价的。
例如，如果y = X 2，则δu=（X +ΔH）2─×2 =2xΔh+Δh的2和dy =2xΔh。 如果x = 3，则我们有量Δu=6Δh+Δh的2和dy =6Δh是等效由于Δh的2→0，当x = 0值量Δu=Δh的2和dy = 0是不等价的。
这一事实，与差分的简单结构一起（米。E.线性相对于ΔH），通常在近似计算中使用，这样的假设量Δu≈DY为小的Δh。 找到差分功能通常是很容易，计算增量的精确值。
例如，我们具有金属立方体边X = 10.00厘米当加热延长上的Δh= 0.001厘米如何增加的体积立方体V中的边缘？ 我们有V = X 2，从而使的dV = 3×2 =Δh的3∙∙2月10日0/01 = 3（厘米3）。 增加ΔV等效差分DV，使得ΔV= 3 cm 3以下。 全部计算将给予3ΔV= 10,01─3月10日= 3.003001。 但是，除了第一靠不住的所有数字的结果; 因此，仍然有必要向上舍入到3cm 3。
显然，这种方法是有用的，只有当它是可能的估计错误所赋予的价值。
差分功能：实例
让我们试着找出函数Y = X 3的差，求导。 让我们给的说法增加量Δu和定义。
ΔU=（ΔH+ X）3─×3 = 3×2 +Δh的（ΔH3xΔh2 + 3）。
在此，系数A = 3×2不依赖于Δh的，使得第一项是成比例的Δh，其他构件3xΔh的Δh2 + 3 当Δh的→0比下降的说法的增加速度更快。 因此，3×2的Δh的成员是Y = X 3的差动：
DY = 3×2ΔH= 3×2 DX或D（×3）= 3×2 DX。
其中D（×3）/ DX = 3X 2。
的Dy我们现在发现函数y = 1由衍生物/ X。 那么d（1 / X）/ DX =─1/×2。 因此DY =─的Δh/×2。
差基本代数函数如下。
使用差分近似计算
为了评估函数f（x），和它的导函数f“（x）的在x = a是常困难的，但这样做在x =一个附近是不容易的。 然后来到近似表达式的帮助
F（A +ΔH）≈F“（a）中的Δh+ F（a）中。
这给出了函数的在小的增量通过其差Δh的F“（a）中的Δh的近似值。
因此，该公式给出用于在长度Δh的的一部分的结束点作为它的值中的部分（X = A），并在相同的起始点差速器的起点的总和函数的近似式。 下面，用于确定该函数的值的方法的准确度示出的附图。
然而已知的，并且用于通过式有限增量给出的函数X = A +Δh的值的精确表达式（或，可替换地，拉格朗日式）
F（A +ΔH）≈F“（ξ）的Δh+ F（a）中，
其中点x = A +ξ是在从x = a至X = A +Δh的间隔，虽然它的确切位置是未知的。 确切的配方允许评估近似公式的误差。 如果我们把在拉格朗日式ξ=Δh的/ 2，尽管它不再是准确的，但给出，作为一项规则，在差分方面比原来表达一个更好的方法。
通过应用差分评价式错误
测量仪器 ，在原则上，不准确的，并带来相应的误差测量数据。 它们通过限制其特征在于 所述绝对误差， 正的，清楚地超过绝对值（或者至多等于它）错误-或，总之，极限误差。 限制性的相对误差被称为通过将其除以测定值的绝对值而得到的商。
让用来vychislyaeniyaý确切公式y = F（x）的函数，但是x的值是测量结果，并因此带来了在y误差。 然后，找到了限制绝对误差│Δu│funktsiiY，使用公式
│Δu│≈│dy│=│F“（x）的││Δh│，
其中│Δh│yavlyaetsya边际错误的说法。 │Δu│量必须被向上舍入，如 不准确的计算本身是替换的微分计算的增量。
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