几何级数。 例子来决定

考虑行。

7 28 112 448 1792 ... ...

很清楚地表明它的任何元素比前准确值的四倍。 所以，这个系列是一个进步。

几何级数 被叫号码的无限序列，其主要特征，其中是下列数是由上述通过一些明确的数相乘而得到。 这是由下式表示。

_{的Z 1 =的Z·Q ，}其中z -选定元件的编号。

因此，Z∈N.

9年级 - 当学校进行了研究几何级数的时间。 例子将有助于理解这个概念：

0.25 0.125 0.0625 ...

2月18日6 ...

基于这个公式中，分母的进展可以发现如下：

既不Q，或b _Z不能是零。 此外，每个元件的 一系列的数字 进展不应为零。

因此，看到若干的下一个数字，用q乘以后者。

要定义这个进程，必须指定其分母的第一要素。 之后，它是有可能找到以下任何成员及其金额。

种类

根据q和一个_1，这是进展分为几种类型：

• 如果_1，q是大于一，则序列-以几何级数的每个连续元素增加。 其实例详述如下。

例如：a ₁ = 3，Q = 2 -大于一，这两个参数。

然后，数字序列可以写成：

3 6 12 24 48 ...

• 如果| Q | 小于1，即，它是由分割相当于乘法，与类似疾病的进展 - 递减几何级数。 其实例详述如下。

例如：a ₁ = 6，Q = 1/3 - a ₁是大于一，Q -以下。

然后，数字序列可以写成如下：

6 2 2/3 ... - 以下的任意元素以上的元素，是3次。

• 交替。 如果Q <0，则序列交替的数量不断不管₁的标志_，和任增加或减少的元素。

例如：a ₁ = -3，Q = -2 -均小于零。

然后，数字序列可以写成：

3，6，-12，24，...

公式

为了方便使用，也有公式的许多几何级数：

• 式Z-个任期。 它允许在特定数量的元素的计算而不计算以前的编号。

例如：Q = 3，α= ₁ 4.需要计算一个第四元件进展。

解决方案：A = ₄ 4 ^3·4-1·3 = 4 ³ = 4·27 = 108。

• 第一要素的总和，它的数量等于 ž。 它允许在一个序列的所有元素的总和的于 _Z 包容 的计算 。

≠0，因此，q不为1 - （Q 1） 由于（1-q） 为分母，然后。

注意：当q = 1，则进展将有表示若干无休止的重复数。

量呈指数例子：a ₁ = 2，Q = -2。 计算_S5。

解决方案：S5 _中 = 22 -计算公式。

• 如果金额| q | <1和当z趋于无穷。

例如：a ₁ = _2，Q = 0.5。 查找的总和。

溶液：S _Z = 2×4 =

如果我们计算手动的几名成员的总和，你会发现它确实是致力于为四个。

小号_Z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0125 + 0.0625 = 3.9375 4

一些特性：

• 一个特征属性。 如果以下条件 它适用于任何 Z，然后给出一个数值系列-几何级数：

的_Z ² = A _Z-1 ·A _{Z + 1}

• 它也是任意数量的平方呈指数通过添加其他两个数的平方的任何给定行中的装置，如果它们是从元件等距离。

² _Z = 的_{Z - 吨} ² ₊ 的_Z + _T ^2， 其中 t -这些数字之间的距离。

• 元件 用q 倍 不同 。
• 进展的元件的对数，以及形成的进展，但算术，即，由一定数目的每它们比前一层更的。

的一些经典问题的例子

为了更好地理解什么是几何级数，与9级的决定的例子可以提供帮助。

• 条款和条件：a ₁ = _3，3 = 48找出 q。

解决方案：在比之前 常见 更每个连续元件 时间。 有必要通过表达分母通过其他一些元素。

因此_，3 = Q ^_2·1

当代 Q = 4

• 条件：a ₂ = 6，= ₃ 12 -计算S _6的。

解决方法： 要做到这一点，就足以找出q，第一个元素，代入公式。

一个 ₃ = Q·A _2，因此， 当q = 2

一个₂ = Q ·A _1， 因此 a = ₁时 3

S = ₆ 189

• ·A ₁ = 10，Q = -2。 找到发展的第四个元素。

解决方案：它足以通过第一，通过分母来表达第四个元素。

₄一个³ = Q·α= ₁ -80

应用实例：

• 银行客户贡献了1万个卢布的总和，其下每年客户的本金会增加，虽然它的6％。 多少钱是在4年后的帐户？

解决方案：初始量等于10万个卢布。 所以，一年的账户投资之后将等于10000 + 10000 = 10000·0.06·1.06的金额

因此，一年后也将表现为在帐户中的金额如下：

（10000·1.06）·10000·0.06 + 1.06 = 1.06·1.06·万

也就是说，每年的金额增加至1.06倍。 因此，为了找到的帐户的数目4年后，只要找到一个第四元件进展，这是考虑等于第一元件10万，分母等于1.06。

S = 1.06·1.06·1.06·1.06·10000 = 12625

在总和的计算问题的例子：

中的各种问题使用几何级数。 找到的总和的例子可以按如下设置：

一个 ₁ = 4，Q = 2，计算 _S5。

解决方案：所有的计算所必需的数据是已知的，可以替换入公式。

S5 _中 = 124

• 一个 ₂ = 6，= ₃ 18计算第一六个要素的总和。

解决方案：

其GEOM。 比以前的Q倍下一个更大的每个元素的进步，也就是计算量，你需要知道元素 的 _1，分母 Q值。

₂ · Q = ₃

q = 3 的

同样，需要找到 一个 _1，2，知道 Q值。

₁ · Q = ₂

A ₁ = 2

然后就足够了已知数据代入公式量。

S ₆ 的 = 728。